Matemáticas Financieras

Matemáticas de Intereses

El interés se define como la consideración pagada por el uso de dinero. Para quien lo presta es un ingreso y para quien pide prestado es un costo. El pago de interés es una función de tres variables:

1) La suma prestada, llamado el “principal”, 

2) la tasa de interés expresado como un porcentaje para un período dado (por ejemplo, 22% por año, o 3.5% por mes, etc.), y 

3) el término o tiempo por el cual se presta el principal, sobre el cual se tiene que calcular el interés – si no se define de otra manera, generalmente se hable del interés en base anual.

Hay dos tipos básicos de interés: El interés simple y el compuesto. El interés simple es un interés, que se cobra al final de un período de un año y se expresa como X% por año. Además, el interés simple siempre se calcula sobre la cantidad de principal original, es decir si el deudor se atrasa en el pago de interés  no se aumenta el principal por el interés no pagado. Este interés simple también se llama “ordinario”, si el año para el cómputo del interés se basa en 360 días (12 meses de 30 días cada uno). Típicamente, el interés ordinario toma un año de 360 días pero con los días realmente transcurridos para el período sobre el cual se determina el pago de interés.

El interés se llama “exacto” si se utiliza un año de 365 días (o 366 cuando sea aplicable). Normalmente bancos que pagan intereses sobre saldos diarios utilizan interés exacto.

Por ejemplo el cálculo de intereses ordinarios para un período de 102 días sería:

Donde, P es el principal ($15000 pesos), I es el pago de interés; i es la tasa de interés, digamos 18% por año;

I = 18/100 x 102/360 x 15000

I = 765 pesos

Préstamos Bancarios versus Descuentos

Un préstamo bancario leva intereses ordinarios, pagaderas al fin del periodo. Más adelante veremos si los intereses se cobren cada cuarto o cada mes, en la sección de intereses compuestos. Un préstamo de $1000 a un año con un interés de 10% anual se lleva $100 de intereses al vencimiento.

Hay circunstancias y prácticas bancarias en ciertos países, que llevan al banco cobrar los intereses por anticipado. El mismo préstamo de $1000, se vería deducido por $100 desde el principio, quedando $900 de liquidez efectiva al deudor. Para expresar el verdadero costo de dinero en esta situación, se calcularía: $100/ $1000-10%= $100/$900= 11% de tasa efectiva de interés.

La práctica de descontar el interés por anticipado en préstamos es hoy en día poco común en países más o menos desarrollados. Donde adquiere importancia es en el descuento de documentos por los bancos. Si, por ejemplo alguien quiere vender un bono del gobierno de los Estados Unidos a un banco por falta de liquidez, el banco descontará del valor nominal del bono la reducción a valor presente, tomando la actual tasa de descuento. Si el bono produce intereses, el flujo de futuros intereses también se trae a valor presente. Únicamente si el interés del bono y la tasa de descuento serían iguales, se podría decir que el valor nominal del bono es igual a su valor presente.

El interés compuesto

El interés compuesto se suma al principal al final de cada período de pago de intereses. Por ejemplo:

1.    Un interés que se pagará mensualmente, es 24% por año en términos nominales. Mensualmente se tiene que pagar una doceava parte, 24/12= 2.00%.

2.    Sobre un principal de $10,000 pesos, se paga10,000x2%= $200 pesos. Si se trata de un préstamo, el deudor tiene que desembolsar $200 pesos, o un inversionista recibe la misma cantidad (exceptuando impuestos).

3.     En el segundo período el deudor debe $10,200x2%= $204, y así creciendo cada mes.

4.     Al final del año, el deudor habrá pagado $2682 en intereses compuestos, y los $10,000 en principal original. En otras palabras el interés nominal de 24% p.a. se convirtió en un interés efectivo o compuesto de 26.82%. La fórmula para interés compuesto es : Interés compuesto= (1+i) a la n-eava potencia. “n” denominando el numero de períodos y “i” la tasa de interés nominal por período.

¿Como se determina el tipo de cambio forward?

La determinación se basa en una teoría de la economía, llamada “Teoria de la Paridad de Poder de Compras” (Purchasing Power Parity Theory). La Teoría supone que los tipos de cambio a largo plazo reflejan el diferencial de inflación entre dos países. Como la inflación es un determinante importante pare el nivel de intereses, la ponencia sostiene que en mercados financieros perfectos el valor de un forward iguala las tasas de interés entre los dos países:

Tipo de Cambio Spot ( Spot 8.35%)

Tasa de interés en Pesos (Tmx19.5%)

Tasa de Interés en dólares (Tus 6.25%)

Tiempo o plazo de vencimiento (p: 90 días)

El Tipo de Cambio Forward (TCF) = Spot (1+Tmx*p/360)/(1+Tus*p/360)

TCF = 8.35*(1+19.5%*90/360)/(1+6.25%*90/360) = $8.62

Puntos Forward (PiPs) = TCF – Spot = 0.270

Precio cobertura = (Puntos Forward)/(1+tmx*p/360) = 0.257

El precio de cobertura es el valor presente de los puntos forward (PiPs).